Maurice Fleury wurde in Delémont geboren, wo er zuerst Klarinetten-, später auch Trompetenunterricht erhielt. Er studierte Trompete in der Klasse von Paul Spörri an der Musik-Akademie Basel und schloss 1975 mit dem Diplom ab. Parallel dazu absolvierte Maurice Fleury 1976 die Ausbildung zum Blasorchester-Dirigenten bei Albert E. Kaiser an der Musik-Akademie Basel.

Maurice Fleury unterrichtet Trompete an den Musikschulen Binningen-Bottmingen und Arlesheim und am Conservatoire de Delémont. Zurzeit bildet er sich in Jazz-Improvisation bei Walter Jauslin an der Jazz-Schule Basel weiter.